A színes ábrázolás ötlete
A „színes ábrázolás” alapgondolata a következő.
Előbb színezzük ki valamilyen módon a komplex számsíkot. (Lehetőleg bijektív módon.) Majd ezután ábrázoljunk egy függvényt úgy, hogy a komplex számsík egy (pl. négyzet alakú) tartományán minden pontot színezzünk az abban a pontban felvett függvényértéknek megfelelő színűre. (A gyakorlatban persze nem minden, hanem csak elég sok pontot vizsgálunk.)
Azaz egy színes négyzetet kapunk. (Látni fogjuk, hogy ezáltal milyen tömör, áttekinthető és szép képeket kaphatunk; melyekről könnyedén leolvashatók komplex függvények legkülönbözőbb tulajdonságai. Ez a szemléletes módszer új megvilágításba helyezheti a komplex függvényeket, mely által azok mélyebb megértését nyerhetjük. Nyomtatás tekintetében azonban nem kimondottan festéktakarékos ez az eljárás.)
Nem szóltunk még arról, hogy hogyan színezzük ki a komplex számsíkot. Egy lehetséges mód például lehet az, hogy kerüljön egy komplex számnak megfeleltetett színbe annál több piros, minél nagyobb a valós része, illetve annál több kék, minél nagyobb a képzetes része. Ezt a színezést szemlélteti az alábbi ábra. (Mivel külön kezeli a valós és képzetes részt, nevezzük el ezt a színezést úgy, hogy ImRe.)
Az ImRe színezés.
Tehát még egyszer. Ha már van egy színezésünk (fent), egy ábrázolandó függvényünk és egy kiszemelt tartományunk (lent), amelyen ábrázolni kívánjuk a függvényt: A tartományunk pontjain végigmenve, fessük azokat az ott felvett függvényértéknek megfelelő színre – ezt leolvashatjuk a színezésről.
Egy komplex tartomány, még kiszínezetlenül.
Vegyük észre, hogy ezzel gyakorlatilag már ábrázoltuk is a komplex identitásfüggvényt, azaz az f(z)=z függvényt. (Méghozzá az ImRe színezéssel.)