Négyzetgyök
A négyzetgyök függvény képén egy újabb tulajdonság figyelhető meg.
\(f(z) = \sqrt{z}\;\textrm{(főág)},\quad z \in \mathbb{C}(0,3)\)
Nevezetesen: a valós tengely negatív félegyenesén a négyzetgyökfüggvénynek szakadása van. Más helyeken folytonos. (Az eddig tárgyalt függvények mind folytonosak voltak az egész komplex számsíkon.)
A négyzetgyökfüggvény ugyanis a négyzetfüggvény inverze, azonban mivel ez nem injektív, az inverz képzéséhez le kell szűkíteni egy olyan tartományra, amelyen már az. Egy ilyen tartomány például a pozitív valós részű félsík. Ezen – mint már láttuk – a négyzetfüggvény felvesz minden komplex értéket, ezért inverze, az egész komplex számsíkon értelmezett négyzetgyökfüggvény képhalmaza a jobb oldali félsík.
Másik színezéssel:
\(f(z) = \sqrt{z}\;\textrm{(főág)},\quad z \in \mathbb{C}(0,3)\)
Több ágát definiálhatjuk a négyzetgyökfüggvénynek. A négyzetfüggvény értelmezési tartományának természetes „jobb oldali félsík” választásával kapjuk az úgynevezett főágat. Más félsíkokra is leszűkíthetjük a négyzetfüggvényt, így ez lesz majd a négyzetgyökfüggvény képhalmaza. Azonban a tartomány megválasztása közvetlenül befolyásolja a szakadás elhelyezkedését is. Ezt szemlélteti az alábbi ábra.
Segítségképpen ide tettük a négyzetfüggvény és a színezés képét is:
A különböző ágakat bemutató videó megtekinthető lent, illetve letölthető ezen a linken. Az animációban egyszer körbevezetjük a leszűkítési tartományt a komplex síkon. (Aminek következtében a szakadás két kört tesz meg.)