Logaritmus
Íme a komplex logaritmusfüggvény képe:
\(f(z) = \log\,z\;\textrm{(főág)},\quad z \in \mathbb{C}(0,3)\)
Láthatjuk, hogy szakadása van, méghozzá szintén a valós tengely negatív felén.
Valamint ez a függvény egy újabb jó példa arra a jelenségre is, amit a szinuszfüggvény esetében elmondtunk. Felismerhetjük rajta a valós logaritmusfüggvényt. (A pozitív valós számokon van értelmezve, 0 közelében mínusz végtelenhez tartó értékeket vesz fel, az 1-ben zérushelye van, továbbá – bár elég lassan – plusz végtelenhez tart. Színekben: fehér, cián, fekete, piros, fehér.)
A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze, amely nem injektív (hanem \(2 \pi i\) szerint periodikus), így leszűkítendő valamely \(2 \pi\) széles „vízszintes sávra”. (Lásd a lenti ábrát.) Az úgynevezett főágat a „természetes” \(-\pi\) és \(\pi\) határok választásával nyerjük (megállapodás kérdése). A mellékágakat más „sávok” kijelölésével kapjuk. A tartomány megválasztása persze befolyásolja a szakadást is.
Segítségképpen alább elhelyeztük az exponenciális függvény és a színezés képét is.
A logaritmusfüggvény néhány ágát mutatja be a lenti videó, amely innen is letölthető.
Az animációban a leszűkítési tartományt szinuszosan fel-le mozgatjuk \(\pi\) kitéréssel mindkét irányba. (A szakadás pedig ennek megfelelően változtatja szögét.)