Lényeges szingularitás
Egyre magasabb rendű pólusok közelében a komplex függvények viselkedése egyre összetettebb. Azonban igazán csak egy lényeges szingularitás környezetében vadulnak meg!
\(f(z) = \cos\,\frac{1}{z},\quad z \in \mathbb{C}(0,1)\)
Fent láthatunk egy példát egy lényeges szingularitás megjelenésére. Esetünkben a nulla ilyen.
A függvénynek lényeges szingularitása körüli Laurent-sorában végtelen sok nem nulla együtthatós negatív kitevőjű tag található.
A sok színre – a hatalmas változatosságra az origó körül – pedig Picard-tétele szolgál magyarázattal; amely kimondja, hogy egy függvény lényeges szingularitásának tetszőlegesen kicsi környezetében felvesz minden komplex értéket (legfeljebb egy kivételével). Avagy ha az \(f\) függvénynek az \(a\) pont lényeges szingularitása, akkor \[ \exists w_0 \in \mathbb{C} : \forall \varepsilon > 0 : \forall w \in \mathbb{C} \setminus \left\{ w_0 \right\} : \exists z \in \mathbb{C} : \big(\left| z - a \right| < \varepsilon \wedge f(z) = w\big). \]