Négyzet
A komplex négyzetfüggvény képét többféle színezéssel is bemutatjuk.
\(f(z) = z^2,\quad z \in \mathbb{C}(0,3)\)
Emlékezzünk, négyzetre emelés által egy komplex szám argumentuma kétszeresére változik, abszolút értéke pedig a négyzetére.
Ez a függvény nem injektív: egy-egy szín kétszer is előfordul a képen. Méghozzá a jobb oldali (pozitív valós részű) félsík pontjainak négyzetfüggvény által létesített képeként előáll minden komplex szám, az egész sík: ennek megfelelően a kép jobb oldalán felfedezhetjük a színezés minden színét. (Hasonlót állíthatunk többek között a bal oldali félsíkról is.) Megfigyelhetjük azt is, hogy mivel egy szám és -1-szeresének négyzete ugyanaz: az ábra középpontosan szimmetrikus.
\(f(z) = z^2,\quad z \in \mathbb{C}(0,3)\)
Az imént megfogalmazottakat erről az ábráról is leolvashatjuk.
A négyzetfüggvénynek a 0 kétszeres zérushelye. Vegyük észre, ha egyszer körbejárjuk a 0-t (általában a zérushelyet), a színek kétszer ismétlődnek meg. (A lineáris függvények – köztük az identitásfüggvény is – egy darab egyszeres zérushellyel rendelkeznek. Lásd pl. a színezések képét.) Ez egy jó módszer lesz egy zérushely multiplicitásának megállapítására.
Érdekes megfigyelni a négyzetfüggvény képét egy „lépcsősített” színezéssel is:
\(f(z) = z^2,\quad z \in \mathbb{C}(0,3)\)
Az ábrán megjelenő vonalak olyan helyekről árulkodnak, ahol a felvett függvényértékek valós (vagy képzetes) része konstans. Megmutatható, hogy ezek hiperbolaívek. Nem keverendők a valós (vagy képzetes) tengellyel párhuzamos egyenesek képeivel, amelyek parabolaívek.
Ezeket alátámaszthatja az alábbi számítás: \[ z^2 = (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xy \cdot i, \] ha különféleképpen értelmezzük…