Az exp hatványsora
Valós esetben viszonylag könnyű elképzelni, hogy hogyan közelít egy adott függvényt egy adott pont körüli környezetében a Taylor-sora.
Most megmutatjuk ugyanezt komplex esetben, méghozzá a komplex exponenciális függvény nulla közepű hatványsorának kezdőszeleteit (Taylor-polinomait) léptethetjük a lenti ábrán.
A szóban forgó sor, illetve polinomok a következő alakúak: \[ \exp\,z = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^k, \] \[ T_n\exp\, (z) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} z^k = 1 + z + \frac{1}{2} z^2 + \frac{1}{3!} z^3 + \dots + \frac{1}{n!} z^n. \] Az oldal betöltésekor az n=0-hoz tartozó polinomot, azaz a konstans 1-et láthatjuk. (Kattintgassunk a Következő, illetve Előző linkekre!)
\(f(z) = T_{n}\exp\,(z),\quad z \in \mathbb{C}(0,8)\)
< Előző (n = 0) Következő >
Vessük össze a Taylor-polinomokat az exponenciális függvény ugyanazon a tartományon felrajzolt képével. (A színezést is megadtuk.)
\(f(z) = \exp\,z,\quad z \in \mathbb{C}(0,8)\)
Jól látható, hogy a magasabb fokú polinomok már elég jó közelítést adnak az origó környezetében.