Kétsíkos
Ebben a fejezetben bemutatunk néhány módszert az ismertebbek közül, amelyek segítségével valamilyen képet alkothatunk komplex függvényekről. Jó pár példát is mutatunk ezek alkalmazására. Most csak a módszerek rövid ismertetése a célunk. Mindegyiknek megvannak a maga előnyei, hátrányai, felhasználási területei. Azonban talán egyik sem ad olyan teljes, tömör és áttekinthető képet, mint a színes ábrázolás.
Az első módszer a kétsíkos ábrázolás névvel illethető, mivel alapvetően két síkot használ, méghozzá az úgynevezett z és w síkokat; és a z sík bizonyos ponthalmazainak (egyenesek, szakaszok, körök) képét vizsgálja, ezeket tünteti fel a w síkon. (Ha megállapodunk abban, hogy mindig ugyannak a halmaznak vizsgáljuk a képét, akkor egy sík is elegendő lehet.)
Példaként tekintsük előbb a négyzetfüggvényt! Megmutatható, hogy ez a képzetes tengellyel párhuzamos egyenesekhez parabolaíveket rendel.
\(f(z) = z^2\)
A z síkon négy egyenest tüntettünk fel, ezek közül kettő képe egybeesik, így adódott csak három parabola. Az alábbi rövid számítás segíthet az értelmezésben. Legyen \(a_0\) rögzített valós szám, \(b\) pedig fussa be a valós számok halmazát. Így: \[ (a_0 + b i)^2 = \underbrace{-b^2 + a_0^2}_{u} + \underbrace{2 a_0 b}_{v} \cdot i,\qquad u = -\frac{1}{a_0^2} v^2 + a_0^2. \]
Második példánk legyen az exponenciális függvény. Vizsgáljuk meg, mit rendel a valós, illetve a képzetes tengellyel párhuzamos egyenesekhez.
\(f(z) = \exp\,z\)
A vizsgált ponthalmazok képei rendre origóból induló félegyenesek, illetve origó közepű körök. Ezek magyarázatául szolgálhatnak az Euler-formulára is építő alábbi átalakítások: \[ \exp\,z = e^z = e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x (\cos\,y + i\,\sin\,y). \]
Ha x és y közül egyiket rögzítjük, a másikat pedig változtatjuk a valós számok mentén, akkor a formulákból kiolvashatjuk a félegyenesek, körök egy paraméterezését. (Több vízszintes egyenes képét jelenítettük meg, mint ahányat a z síkon feltüntettünk.)