8. előadás – Iterációs módszerek LER megoldására
A korábban tárgyalt direkt módszerek mellett az iterációs módszerek is igen elterjedtek (sőt olykor csak ezek bizonyulnak használhatónak) lineáris egyenletrendszerek megoldására. A tárgyalt vektorsorozatok konvergenciájának jellemzését a Banach-féle fixponttétel adja meg. Speciális iterációs módszerek a Jacobi- és a Gauss–Seidel-módszer, melyek konvergenciája garantált néhány mátrixcsalád esetén.
1. Iterációs módszerekről általában
1. rész: Iterációs módszerek mibenléte, vektorsorozatok. (5:01)
2. rész: Vektorsorozat konvergenciája. Példa. (7:20)
3. rész: Lineáris egyenletrendszerek és vektorsorozatok kapcsolata. (7:11)
Matlab példák: Vektorsorozatok számokkal és rajzon, síkon és térben. (10:17)
2. A Banach-féle fixponttétel
4. rész: Fixpont és kontrakció. A tétel kimondása. (9:40)
5. rész: A Banach-féle fixponttétel bizonyítása. (12:08)
6. rész: Iteráció konvergenciájának elégséges feltétele, spektrálsugár és természetes normák kapcsolata. (3:55)
7. rész: Iteráció konvergenciájának ekvivalens feltétele. Rövid példa. (9:11)
3. Speciális iterációs módszerek: Jacobi- és Gauss–Seidel-iteráció
8. rész: L+D+U. A Jacobi-iteráció alakja. (6:26)
9. rész: A Jacobi-iteráció komponensenkénti (skalár) alakja. Példa. (7:54)
10. rész: Szigorúan diagonálisan domináns mátrixok. Tétel. A Gauss–Seidel-iteráció alakja. (7:09)
11. rész: A Gauss–Seidel-iteráció komponensenkénti alakja. Tételek a konvergenciájára. (4:59)
12. rész: Példa. (7:25)
Hangfelvételek
mp3 1. Iterációs módszerekről általában (19:01)
mp3 2. A Banach-féle fixponttétel (34:52)
mp3 3. Speciális iterációs módszerek: Jacobi- és Gauss–Seidel-iteráció (33:37)